Question

已知函数，，，其中，且.
⑴当时，求函数的最大值；
⑵求函数的单调区间；
⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

⑴-1; ⑵详见解析; ⑶

试题分析：⑴令g′（x）=0求出根，判断g′（x）在左右两边的符号，得到g（x）在上单调递增，在上单调递减，可知g（x）最大值为g（1），并求出最值；
⑵解不等式得出函数的单调增区间，导数小于零求出单调递减区间，注意单调区间与定义域取交集；
⑶不等式恒成立就是求函数的最值，注意对参数的讨论.
试题解析：⑴当时， ∴
令，则， ∴在上单调递增，在上单调递减
∴                          （4分）
⑵，，（）
∴当时，，∴函数的增区间为，
当时，，
当时，，函数是减函数；当时，，函数是增函数.
综上得，当时，的增区间为； 
当时，的增区间为，减区间为   （10分）
⑶当，在上是减函数，此时的取值集合；
当时，，
若时，在上是增函数，此时的取值集合；
若时，在上是减函数，此时的取值集合.
对任意给定的非零实数，
①当时，∵在上是减函数，则在上不存在实数（），使得，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴；
②当时，在时是单调函数，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴.
综上得，实数的取值范围为.                          （14分）.