Question

已知数列满足：，且

（1）设，证明数列是等差数列；

（2）求数列、的通项公式；

（3）设，为数列的前项和，证明.

Answer 1

解：(1) 解法一：,

为等差数列                    4分

解法二：

……4分

(2)由(1),从而      6分

(3)解法一：

,               6分

当时,,不等式的左边=7,不等式成立

当时,   故只要证,           

如下用数学归纳法给予证明:

①当时,,时,不等式成立;

②假设当时,成立

当时,

只需证: ,即证:     

令,则不等式可化为:

即令,则

在上是减函数又在上连续, ,故

当时,有当时,所证不等式对的一切自然数均成立综上所述,成立.                   14分

解法二：同一法可得：

下面证明：

记