题目内容

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
分析：（1）由已知中向量的坐标，结合
a
⊥
b
，
a
•
b
=0，代入求出tan
θ
2
，再由倍角正切公式，可得tanθ的值；
（2）由（1）中结论，结合倍角公式，两角和的余弦公式，同角三角函数关系，弦化切后，可得原式的值．
解答：解：（1）∵
a
⊥
b
，向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，
即
a
•
b
=0
即2cos
θ
2
+sin
θ
2
=0，⇒tan
θ
2
=-2
∴tanθ=
2tan
θ
2
1-tan2
θ
2
=
2×(-2)
1-(-2)2
=
4
3
．        …（5分）
（2）原式=
cos2θ-sin2θ
2
(
2
2
cosθ-
2
2
sinθ)sinθ

=
cosθ+sinθ
sinθ

=
(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)
(cosθ-sinθ)sinθ

=
1
tanθ
+1
=
3
4
+1=
7
4
．                           …（12分）
点评：本题考查的知识点是向量的数量积，三角函数的化简求值，熟练掌握倍角公式，两角和的余弦公式，同角三角函数关系等公式是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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