Question

如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆构成，其底端三点均匀地固定在半径为的圆上（圆在地面上），三点相异且共线，与地面垂直. 现要求点到地面的距离恰为，记用料总长为，设．

（1）试将表示为的函数，并注明定义域；
（2）当的正弦值是多少时，用料最省？

Answer 1

（1），；（2）．

试题分析：（1）由已知三点相异且共线，与地面垂直，且三点均匀地固定在半径为的圆上，所以是全等的直角三角形，从而有，进而可得，再由点到地面的距离恰为得；从而由可将Ｌ表示为的函数；其定义域由图形可知：，而当ＰＨ最短时角为最大，但由于三点相异，所以小于该最大值，从而求得其定义域；（2）用料最省，即L取得最小值；由（1）的函数利用导数方法来求使其取得最小值的的值：先求出L的导函数，再令其等于零求出对应的的值，再讨论函数的单调性就可确定的值．
试题解析：（1）因与地面垂直，且，则是全等的直角三角形，又圆的半径为3，
所以，，                               3分
又，所以，                        6分
若点重合，则，即，所以，
从而，.                                   7分
（2）由（1）知，
所以，当时，，                             11分
令，，当时，；当时，；
所以函数L在上单调递减，在上单调递增，                       15分
所以当，即时，L有最小值，此时用料最省.                     16分