Question

已知f（x）=4msinx-cos2x（x∈R）．
（1）若m=0，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的最大值为3，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）把m=0代入函数解析式，进而利用余弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．
（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，然后令t=sinx，进而可推断出g（t）=2（t+m）²-（2m²+1），进而根据二次函数的性质对m进行分类讨论，根据m的范围确定二次函数的开口方向和函数的最大值，求得m．

解答：解：（1）当m=0时，f（x）=-cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得kπ≤x≤kπ+

π

2

(k∈Z)．
因此f（x）=-cos2x的单调增区间为[kπ，kπ+

π

2

](k∈Z)．

（2）f（x）=4msinx-cos2x=2sin²x+4msinx-1=2（sinx+m）²-（2m²+1）
令t=sinx，则g（t）=2（t+m）²-（2m²+1）（-1≤t≤1）．
①若-m≤0，则在t=1时，g（t）取最大值1+4m．
由

1+4m=3 -m≤0

，得m=

1

2

；
②若-m＞0，则在t=-1时，g（t）取最大值1-4m．
由

1-4m=3 -m＞0

，得m=-

1

2

；
综上，m=±

1

2

．

点评：本题主要考查 了三角函数的最值，二次函数的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．