Question

如图1，、是椭圆的长轴上两点，分别为椭圆的短轴和长轴的端点，是上的动点，若的最大值与最小值分别为3、.

(1)求椭圆的离心率；

(2)如图2，点F（1，0），动点Q、R分别在抛物线及椭圆 的实线部分上运动，且QR∥x轴，求△FQR的周长l的取值范围．

 

(图1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(图2)

Answer 1

（1）设，则

∴，                    ………… 2分

∵的最大值与最小值分别为3、，

∴ 的最大值与最小值分别为4、，   ………… 3分

而 表示线段CD上的点到原点的距离OP的平方

∴点OP的最大值为OD ＝2，即………… 5分

OP的最小值即为O到线段CD的距离，

由平面几何知识得OC＝，即，…………7分

得，则椭圆的离心率.      ………… 9分

（2）设，由抛物线的定义知等于点到抛物线准线的距离，

∴等于点到抛物线准线的距离为………… 11分

由椭圆的第二定义知，

∴△NAB的周长l＝＝.………… 13分

由得：抛物线与椭圆交点的横坐标为，即得.

所以△FQR的周长l的取值范围为.………… 16分