Question

已知圆

   （1）求证：当时，直线l与圆C恒有两个不同的交点；

   （2）设l与圆交于A、B两点，若的倾斜角；

   （3）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线。

Answer 1

解法一：

（1）直线而P（1，1）在圆内部（）

故当时，直线l与该圆恒有两个不同的交点。

（2）如图，作CM⊥AB于M，连CA。

当

而

在Rt△CAM中，

 

在Rt△CPM中，

从而AB的倾斜角为由圆的对称性知，AB倾斜角还可为 

（3）M是AB的中点，

点轨迹是以线段CP为直径的圆，其方程为

解法二：

（1）直线中，得

 ①

∴直线l与该圆恒有两个不同的交点。

（2）由方程①，可知 

，即AB的倾斜角为

（3）设M的坐标为

  

即

轨迹为以为半径的圆。