Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是棱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．
（1）证明：直线MN∥平面SBC；
（2）证明：平面SBD⊥平面SAC；
（3）当SA=AD，且∠ABC=60°时，求直线MN与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，取SB中点E，连接ME、CE，
因为M为SA的中点，
所以ME∥AB，且ME=

1

2

AB，
因为N为菱形ABCD边CD的中点，
所以CN∥AB且CN=

1

2

AB，
所以ME∥CN，且ME=CN，
所以四边形MECN是平行四边形，
所以MN∥EC，
又因为EC?平面SBC，ME?平面SBC，
所以直线MN∥平面SBC．（5分）
（Ⅱ）证明：如图，连接AC、BD，相交于点O，
因为SA⊥底面ABCD，
所以SA⊥BD．


因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
又SA∩AC=A，
所以BD⊥平面SAC．
又BD?平面SBD，
所以平面SBD⊥平面SAC．（10分）
（Ⅲ）如图，连接AN，因为MA⊥平面ABCD，
所以AN是MN在平面ABCD上的射影，


所以∠ANM是直线MN与平面ABCD所成的角．
设SA=AD=DC=2，
由∠ABC=60°，
可知AN=

3

，AM=1，
所以在Rt△AMN中∠ANM=30°，
即直线MN与平面ABCD所成的角为30°．（14分）