题目内容
设函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]2
（Ⅰ）求g（x）的周期和最大值；
（Ⅱ）求g（x）的单调递增区间．
（Ⅰ）求g（x）的周期和最大值；
（Ⅱ）求g（x）的单调递增区间．
分析：（1）先求导，再利用倍角公式和两角和的正弦公式即可化为g（x）=Asin（ωx+φ）+K的形式，即可求出其周期及最值；
（2）利用正弦函数的单调性即可求出其单调递增区间．
（2）利用正弦函数的单调性即可求出其单调递增区间．
解答：解：（1）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴g（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）+（sinx+cosx）2=cos2x+sin2x+1=
sin(2x+
)+1．
∴T=
=π．
当2x+
=
+2kπ，即x=kπ+
（k∈Z）时，sin(2x+
)取得最大值1，
此时，函数g（x）取得最大值
+1．
（2）由-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ 解得-
+kπ≤x≤
+kπ(k∈Z)，
∴函数g（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）．
∴g（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）+（sinx+cosx）2=cos2x+sin2x+1=
| 2 |
| π |
| 4 |
∴T=
| 2π |
| 2 |
当2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| π |
| 4 |
此时，函数g（x）取得最大值
| 2 |
（2）由-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
∴函数g（x）的单调递增区间为[kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
点评：熟练掌握导数的运算法则、三角函数的倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的图象和性质是解题的关键．
练习册系列答案
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如图是函数Q（x）的图象的一部分，设函数f（x）=sinx，g （ x ）=| 1 |
| x |
A、
| ||
| B、f（x）g（x） | ||
| C、f（x）-g（x） | ||
| D、f（x）+g（x） |
设函数f（x）=sinx，g（x）=