Question

17.如图，过抛物线y²=2px（p＞0）上一定点P（x₀,y₀）（y₀＞0）,作两条直线分别交抛物线于A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）.

（Ⅰ）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

Answer 1

17.要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.

解：

（Ⅰ）当y=时，x=.

又抛物线y²=2px的准线方程为x=－,

由抛物线定义得所求距离为－（－）=.

（Ⅱ）设直线PA的斜率为k_PA,直线PB的斜率为k_PB

由                  y₁²=2px₁,y₀²=2px₀

相减得           （y₁－y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁－x₀）,

故                  k_PA==（x₁≠x₀）.

同理可得              k_PB=（x₂≠x₀）.

由PA、PB倾斜角互补知k_PA=－k_PB,

即                  =－,

所以                     y₁+y₂=－2y₀,

故                  =－2.

设直线AB的斜率为k_AB.

由    y₂²=2px₂,y₁²=2px₁,

相减得           （y₂－y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂－x₁）,

所以                     k_AB==（x₁≠x₂）.

将                  y₁+y₂=－2y₀（y₀＞0）代入得

k_AB==－,所以k_AB是非零常数.