题目内容
设函数f（x）=logax（a＞0且a≠1），且f（
）＞f（
），
（1）求a的取值范围；
（2）若x∈（0，
]，不等式f（x）≤t2-3t有解，求t的取值范围．
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| a |
| 4 |
| a |
（1）求a的取值范围；
（2）若x∈（0，
| 1 |
| a2 |
分析：（1）利用对数函数单调性，将f（
）＞f（
）转化为
与
大小关系去解
（2）若不等式f（x）≤t2-3t有解，只需不等式f（x）min≤t2-3t有解即可．
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| a |
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| a |
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| a |
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| a |
（2）若不等式f（x）≤t2-3t有解，只需不等式f（x）min≤t2-3t有解即可．
解答：解：法一：（1）函数f（x）=logax的定义域为（0，+∞）．
当a＞1时，函数f（x）=logax是定义域上的增函数，不等式f（
）＞f（
）化为
＞
＞0，无解．
当1＞a＞0时，函数f（x）=logax是定义域上的减函数，不等式f（
）＞f（
）化为0＜
＜
，
∴1＞a＞0
综上所述，a的取值范围是（0，1）．
（2）x∈（0，
]，则f（x）∈（-2，+∞），若不等式f（x）≤t2-3t有解，只需不等式f（x）min≤t2-3t有解即可，即-2≤t2-3t，化为t2-3t+2≥0，解得2≥t≥1．
法二：或f（
）-f（
）=（loga3-1）-（loga4-1）=loga3-loga4，
当a＞1时，函数f（x）=logax是定义域上的增函数，f（
）-f（
）＜0，与已知矛盾．
当1＞a＞0时，函数f（x）=logax是定义域上的减函数，f（
）-f（
）＞0成立．∴1＞a＞0
综上所述，a的取值范围是（0，1）．
（2）同法一．
当a＞1时，函数f（x）=logax是定义域上的增函数，不等式f（
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| a |
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| a |
当1＞a＞0时，函数f（x）=logax是定义域上的减函数，不等式f（
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| a |
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| a |
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| a |
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| a |
∴1＞a＞0
综上所述，a的取值范围是（0，1）．
（2）x∈（0，
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法二：或f（
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| a |
当a＞1时，函数f（x）=logax是定义域上的增函数，f（
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| a |
当1＞a＞0时，函数f（x）=logax是定义域上的减函数，f（
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| a |
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| a |
综上所述，a的取值范围是（0，1）．
（2）同法一．
点评：本题考查函数与不等式，函数单调性的应用，考查逻辑思维、转化、求解运算能力．
练习册系列答案
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)x＋m恒成立，求实数m的取值范围．