Question

已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅．若存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a1，则

1

m

+

9

n

的最小值为（　　）

• A、

  8

  3

• B、

  11

  4

• C、

  14

  5

• D、

  17

  6

Answer 1

分析：根据a₇=a₆+2a₅，求出公比的值，利用存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a1，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．

解答：解：设等比数列的公比为q（q＞0），则
∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a1，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴q^m+n-2=16，
∴m+n=6
∴

1

m

+

9

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

9

n

）=

1

6

（10+

n

m

+

9m

n

）≥

1

6

（10+2

n m • 9m n

）=

8

3

，当且仅当n=3m时取等号．
∴

1

m

+

9

n

的最小值为

8

3

，
故选A．

点评：本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．