Question

若函数y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，则a的取值范围是

5≤a≤7

．

Answer 1

分析：求出函数的导函数，利用函数y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数得到导函数在不同区间内的符号，列式后解不等式组求解a的范围．

解答：解：由y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1，得y^′=x²-ax+a-1．
因为函数y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，
所以y^′=x²-ax+a-1在区间（1，4）内恒小于0，在区间（6，+∞）内恒大于0，
令g（x）=x²-ax+a-1．
则

g(1)=1-a+a-1≤0 g(4)=16-4a+a-1≤0 g(6)≥=36-6a+a-1≥0

，解得5≤a≤7．
故答案为5≤a≤7．

点评：本题考查了函数的单调性与导数的关系，考查了利用二次函数零点所在的范围求参数的值，考查了数学转化思想方法，是中档题．