题目内容
如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为l，∠APH=θ，θ∈(| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| OP |
| l |
| π |
| 4 |
分析：（1）先对θ所在范围分情况求解，最后综合即可；
（2）先根据条件求出OP=a-
，θ∈（
，
）；进而得到
=
，然后借助于两次求导求出函数的最大值点即可得到结论．
（2）先根据条件求出OP=a-
| acosθ |
| sinθ |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| OP |
| L |
| sinθ-cosθ |
| 2θ |
解答：解：（1）当θ∈（
，
）时，点P在线段OG上，AP=
；
当θ∈（
，
）时，点P在线段GH上，AP=
=
；
当θ=
时，AP=a．
综上所述AP=
，θ∈（
，
），
所以，弧AD的长L=AP•2θ=
．
故所求函数关系式为L=
，θ∈（
，
）．
（2）证明：当θ∈（
，
）时，OP=OG-PG=a-
=a-
；
当θ∈（
，
）时，OP=OG+GH=a+
=a-
=a-
；
当θ=
时，OP=a．
所以，OP=a-
，θ∈（
，
）．
从而，
=
，θ∈（
，
）．
记f（θ）=
，θ∈（
，
）．
则f′（θ）=
令f′（θ）=0得θ（cosθ+sinθ）=sinθ-cosθ
因为θ∈（
，
）所以cosθ+sinθ≠0，从而θ=
，
显然θ≠
，所以θ=
=
=tan（θ-
）
记满足θ=tan（θ-
）的θ=θ0．下面证明θ0是函数f（θ）的极值点．
设g（θ）=θ（cosθ+sinθ）-（sinθ-cosθ），θ∈（
，
），
则g′（θ）=θ（cosθ-sinθ）＜0上θ∈（
，
）恒成立．
从而g（θ）在θ∈（
，
）上单调递减，
所以，当θ∈（
，θ0）时g（θ）＞0，即f′（θ）＞0，f（θ）在（
，θ0）上单调递增，
当θ∈（θ0，
）时，g（θ）＜0，即f′（θ）＜0，f（θ）在（θ0，
）上单调递减．
故f（θ）在θ=θ0．处取得极大值也是最大值．
所以：当θ满足θ=tan（θ-
）时，函数f（θ）即
取得最大值，此时招贴画最优美．
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| a |
| sinθ |
当θ∈（
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
| a |
| sin(π-θ) |
| a |
| sinθ |
当θ=
| π |
| 2 |
综上所述AP=
| a |
| sinθ |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
所以，弧AD的长L=AP•2θ=
| 2aθ |
| sinθ |
故所求函数关系式为L=
| 2aθ |
| sinθ |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
（2）证明：当θ∈（
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| a |
| tanθ |
| acosθ |
| sinθ |
当θ∈（
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
| a |
| tan(π-θ) |
| a |
| tanθ |
| acosθ |
| sinθ |
当θ=
| π |
| 2 |
所以，OP=a-
| acosθ |
| sinθ |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
从而，
| OP |
| L |
| sinθ-cosθ |
| 2θ |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
记f（θ）=
| sinθ-cosθ |
| 2θ |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
则f′（θ）=
| θ(cosθ+sinθ)-(sinθ-cosθ) |
| 2θ2 |
令f′（θ）=0得θ（cosθ+sinθ）=sinθ-cosθ
因为θ∈（
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| sinθ-cosθ |
| sinθ+cosθ |
显然θ≠
| π |
| 2 |
| sinθ-cosθ |
| sinθ+cosθ |
| tanθ-1 |
| tanθ+1 |
| π |
| 4 |
记满足θ=tan（θ-
| π |
| 4 |
设g（θ）=θ（cosθ+sinθ）-（sinθ-cosθ），θ∈（
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
则g′（θ）=θ（cosθ-sinθ）＜0上θ∈（
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
从而g（θ）在θ∈（
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
所以，当θ∈（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
当θ∈（θ0，
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
故f（θ）在θ=θ0．处取得极大值也是最大值．
所以：当θ满足θ=tan（θ-
| π |
| 4 |
| OP |
| L |
点评：本题主要考察解三角形在生活中的应用问题．解决本题的第二问时涉及到了两次求导来求函数的最值，难度较大．
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，
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为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角
)时，招贴画最优美．
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