Question

如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为l，．
（1）求l关于θ的函数关系式；
（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ满足：时，招贴画最优美．

Answer 1

解：（1）当θ∈时，点P在线段OG上，AP=；
当θ∈时，点P在线段GH上，AP=；
当θ=时，AP=a．
综上所述AP=，θ∈，
所以，弧AD的长L=．
故所求函数关系式为L=，θ∈．
（2）证明：当θ∈（，）时，OP=OG﹣PG=a﹣；
当θ∈时，OP=OG+GH=a+；
当θ=时，OP=a．
所以，OP=a﹣，θ∈．
从而，，θ∈．

所以：当θ满足θ=tan（θ﹣）时，函数f（θ）即取得最大值，此时招贴画最优美．