Question

已知动点P（p，-1），Q（p，1+

p2

2

），过Q作斜率为

p

2

的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C．
（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；
（2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线．

Answer 1

分析：（1）先用消参法求出P Q中点M的轨迹方程，再求出带参数p的直线l的方程，与点M的轨迹方程联立，再判断△的大小，即可得到直线l与曲线C一定有两个公共点，
（2）先解（1）中联立方程组得到的一元二次方程，得到A点坐标，利用斜率公式求出AP的斜率，再用导数求出斜率，观察两者是否相等，即可得证．

解答：解：（1）直线l的方程是：y-1-

p2

2

=

p

2

(x-p)，即y=

p

2

x+1，经过定点（0，1）；
又M（p，

p2

4

），设x=p，y=

p2

4

，消去p，得到的轨迹方程为：y=

x2

4

．
由

y= x2 4 y= p 2 x+1

有x²-2px-4=0，其中△=4p²+16，所以l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点
（2）由x²-2px-4=0，设A（p+

p2+4

，

(p+ p2+4 )2

4

），
则kAP=

(p+ p2+4 )2 4 +1

p2+4

=

p+ p2+4

2

，
又函数y=

x2

4

的导函数为y=

x

2

，故A处的切线的斜率也是

p+ p2+4

2

，从而AP是曲线C的切线．对于另一个解同样可证．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，特别是相交和相切关系，巧妙地利用韦达定理，导数的几何意义可有效提高解题速度