Question

【题目】已知函数，，其中且，．

（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；

（2）当m>0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；

（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）或．

【解析】

（1）分别求得与的极值点，利用极值点相同构造方程，求得；（2）首先求得在上单调递减，在上单调递增；再通过零点存在定理，分别在两段区间找到零点所在大致区间，根据单调性可知仅有这两个不同零点；（3）根据已知关系，将问题变为：，又，则可分别在，，三个范围内去求解最值，从而求解出的范围.

（1）因为，所以

令，得

当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增；

所以为的极值点

因为，，所以函数的极值点为

因为函数与有相同的极值点，所以

所以

（2）由题意，所以

因为，所以

令，得

当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增；

所以为的极值点

因为，，又在上连续且单调

所以在上有唯一零点

取满足且

则

因为且，所以

所以，又在上连续且单调

所以在上有唯一零点

综上，函数有两个不同的零点

（3）时，

由，使，则有

由于

①当时，，在上单调递减

所以

即，得

②当时，，在上单调递增

所以

即，得

③当时，

在上，，在上单调递减；

在上，，在上单调递增；

所以

即（*）

易知在上单调递减

故，而，所以不等式（*）无解

综上，实数的取值范围为或