Question

【题目】已知椭圆： （）的两个焦点为， ，离心率为，点， 在椭圆上， 在线段上，且的周长等于．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过圆： 上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点， ，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）取最大值.

【解析】试题分析：（1）由的周长为可得，由离心率得，进而的椭圆的标准方程；（2）先根据韦达定理证明两切斜线斜率积为，进而得两切线垂直，得线段为圆的直径， ，然后根据不等式及圆的几何意义求的最大值．

试题解析：（1）由的周长为，得， ，由离心率，得， ．所以椭圆的标准方程为： ．

（2）设，则．

（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则， ，另一切线的斜率为0，从而．此时， ．

（ⅱ）若切线的斜率均存在，则，设过点的椭圆的切线方程为，

代入椭圆方程，消并整理得： ．

依题意， ．

设切线， 的斜率分别为， ，从而，即．

线段为圆的直径， ．

所以，

当且仅当时， 取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得： 最大值是4．