Question

【题目】设等差数列满足，，

（1）求数列的通项公式；

（2）求的最大项的值；

（3）数列满足，问是否存在正整数k，使得成等差数列？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大项的值为1（3）不存在，详见解析

【解析】

（1）根据题意，设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，由条件列得方程组，解可得d与a1，由等差数列通项公式可得答案；

（2）直接利用的单调性，即可得出．

（3）结合（1）知．要使b1，b2，bm成等差数列，可得2b2＝b1+bm，代入化简运算即可得出．

（1）设等差数列的首项为，公差为d，

由题意得，解得，

数列的通项公式；

（2）令，

当时，且随n的增大而增大，即有；当时，；

所以的最大项的值为1；

（3）假设存在正整数，使得成等差数列，

由得，从而，，由得，，

所以，两边取倒数整理得：，

所以，即，

因为k、m均为正整数，

所以，不能得出为整数，故无符合题意的解，

所以不存在正整数k，使得成等差数列.