Question

【题目】已知圆，点，点是圆上的一个动点，点分别在线段上，且满足，.

（1）求点的轨迹方程；

（2）过点作斜率为的直线与点的轨迹相交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在，取值范围是

【解析】

（1）由知为线段的中点， 由知， 故点为线段的垂直平分线上的一点，从而可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，由此可得其轨迹方程；

（2）点是椭圆的右焦点，设直线.与椭圆方程联立消去得一元二次方程，设，则，假设存在满足题意的点，则由对角线垂直即可把表示为的函数，结合不等式性质可得结论．

（1）由知为线段的中点， 由知， 故点为线段的垂直平分线上的一点，从而，则有，

∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， ∵ ∴，∴点的轨迹方程是.

（2）由（1）知点是椭圆的右焦点，设直线.

由，消去并整理，得到.

设，则，从而

假设存在满足题意的点，则，

∵菱形的对角线互相垂直， ∴，

即

又 ∴

即

由，且， ，

故存在满足题意的点，且的取值范围是.