题目内容

若数列{an}的首项为a1=1，且对任意n∈N*，an与an+1恰为方程x2-bnx+cn=0的两根，其中0＜|c|＜1，当
lim
n→∞
（b1+b2+…+bn）≤3，求c的取值范围．
∵对任意n∈N*，an与an+1恰为方程x2-bnx+cn=0的两根，
∴an+an+1=bn，an•an+1=cn
∴
an+1•an+2
an•an+1
=
an+2
an
=
cn+1
cn
=c．
∵a1=1，∴a1•a2=a2=c．
∴a1，a3，a5，…，a2n-1，构成首项为1，公比为c的等比数列，
a2，a4，a6，…，a2n，构成首项为c，公比为c的等比数列．
又∵任意n∈N*，an+an+1=bn恒成立．
∴
bn+2
bn
=
an+2+an+3
an+an+1
=c．又b1=a1+a2=1+c，b2=a2+a3=2c，
∴b1，b3，b5，…，b2n-1，构成首项为1+c，公比为c的等比数列，
b2，b4，b6，…，b2n，构成首项为2c，公比为c的等比数列，
∵0＜|c|＜1，
lim
n→∞
cn=0
∴
lim
n→∞
（b1+b2+b3+…+bn）=
lim
n→∞
（b1+b3+b5+…）+
lim
n→∞
（b2+b4+…）
=
1+c
1-c
+
2c
1-c
≤3．
解得c≤
1
3
或c＞1．
∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤
1
3
或-1＜c＜0．
故c的取值范围是（-1，0）∪（0，
1
3
]．
练习册系列答案
相关题目
对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一等差数列，其中△an=an+1-an（n∈N*），
（1）若数列{an}通项公式an=
5
2
n2-
13
2
n(n∈N*)，求{△an}的通项公式；
（2）若数列{an}的首项是1，且满足△an-an=2n，①证明：数列{
an
2n
}为等差数列；②求{an}的前n项和Sn．
对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；类似的，规定{△2an}为数列{an}的二阶差分数列，其中△2an=△an+1-△an（n∈N*）．
（Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=3n2-5n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N*），令bn=
an
2n
，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记cn=
a1(n=1)
2n-1
△an
(n≥2，n∈N*
，求证：c1+
c2
2
+…+
cn
n
＜
17
12
．
已知函数f（x）=
1
x2-4
（x＜-2）．
（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）；
（2）若数列{an}的首项a1=1，
1
an+1
=-f-1（an）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）设bn=
anan+1
an+an+1
，若b1+b2+…+bn=2，求n的值．
（2011•东城区模拟）对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．对正整数k，规定 {△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）．
（Ⅰ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{an}，若数列{bn}是等差数列，使得b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an对一切正整数n∈N*都成立，求bn；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令cn=（2n-1）bn，设Tn=
c1
a1
+
c2
a2
+
c3
a3
+…+
cn
an
，若Tn＜m成立，求最小正整数m的值．
对数列{an}，规定{Van}为数列{an}的一阶差分数列，其中Van=an+1-an（n∈N*）．对正整数k，规定{Vkan}为{an}的k阶差分数列，其中Vkan=Vk-1an+1-Vk-1an=V（VK-1an）（规定V0an=an）．
（Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=n2+n（n∈N*），是判断{Van}是否为等差数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足V2an-Van+1+an=-2n（n∈N*），求数列{an}的通项公式．

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