Question

已知定圆x²+y²=r²内一点C（a，b），过C作两相互垂直的直线交圆于A、B，作长方形ACBP，求P点轨迹方程

 

．

Answer 1

分析：由题意画出图形，设出长方形ACBP两条对角线的交点坐标Q，以Q为媒介，找到等式关系，利用中点坐标公式替换为P的坐标，则P点轨迹方程可求．

解答：解：如图：
设AB与CP交于点Q，且Q为AB中点，
∴|OA|²=|OQ|²+|QA|²=|OQ|²+|QC|²，
再设Q（x_Q，y_Q），P（x_P，y_P），
∴(

x

2 Q

+y

2 Q

)+(xQ-c)2+(yQ-b)2=r2，
而yQ=

yp+b

2

，xQ=

xp+a

2

代入上式化简得：

x

2 P

+y

2 P

=2r2-a2-b2，
即P点轨迹方程为：x²+y²=2r²-a²-b²．
故答案为：x²+y²=2r²-a²-b²．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，体现了数学转化思想方法，训练了代入法，解答该题的关键是利用平面几何知识寻找关系，是中档题．