题目内容
（2009•大连二模）已知函数f（x）=-x3+ax-4在x=
处取极值．
（I）求实数a的值；
（II）关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
| 4 | 3 |
（I）求实数a的值；
（II）关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
分析：（I）求导数，把x=
代入可得关于a的方程，解之可得a的值；（II）求f′（x），研究其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案．
| 4 |
| 3 |
解答：解：（I）由题意可得f′（x）=-3x2+2ax
由题意得f′（
）=0，解得a=2，经检验满足条件． …（2分）
（II）由（1）知f（x）=-x3+2x2-4，则f′（x）=-3x2+4x…（4分）
令f′（x）=0，则x=0，或x=
（舍去）…（6分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
…（9分）
∵关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
∴-4＜m≤-3 …（12分）
由题意得f′（
| 4 |
| 3 |
（II）由（1）知f（x）=-x3+2x2-4，则f′（x）=-3x2+4x…（4分）
令f′（x）=0，则x=0，或x=
| 4 |
| 3 |
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
| x | -1 | （-1，0） | 0 | （0，1） | 1 |
| f′（x） | - | 0 | + | ||
| f（x） | -1 | ↘ | -4 | ↗ | -3 |
∵关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
∴-4＜m≤-3 …（12分）
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，涉及根的存在性及个数的判断，属中档题．
练习册系列答案
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