Question

设a∈R，f（x）为奇函数，且f(2x)=

a•4x-a-2

4x+1

（1）试求f（x）的反函数f^-1（x）的解析式及f^-1（x）的定义域；
（2）设g(x)=log

2

1+x

k

，是否存在实数k，使得对于任意的x∈[

1

2

，

2

3

]，f^-1（x）≤g（x）恒成立，如果存在，求实数k的取值范围．如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）为奇函数当x=0有意义，则f（0）=0，求出a，求出f（x）的解析式；将函数f（x）看出关于x的方程，求出x，将x换成y，将y换成x求出反函数，求出f（x）的值域即反函数的定义域．
（2）先利用对数函数的真数大于0求出k的范围；利用对数函数的单调性去掉对数符号，将不等式转化为二次不等式恒成立；转化为函数的求最值．

解答：解：（1）因为f（x）为奇函数，且x∈R所以f（0）=0，得a=1，f(x)=

2x-1

2x+1

f-1(x)=log2

1+x

1-x

，x∈(-1，1)（6分）
（2）假设存在满足条件的实数k．
因为x∈[

1

2

，

2

3

]，所以k＞0
由f^-1（x）≤g（x）得log2

1+x

1-x

≤log

2

1+x

k

，所以0＜

1+x

1-x

≤(

1+x

k

)2，
所以当x∈[

1

2

，

2

3

]时，k²≤1-x²恒成立（10分）
即k2≤(1-x2)min=

5

9

，又k＞0
所以k的取值范围是0＜k≤

5

3

（14分）

点评：本题考查奇函数的特殊函数值f（0）=0、考查反函数的求法、利用对数函数的单调性解决对数不等式问题，解决不等式恒成立常转化为函数的最值．