Question

设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（

π

2

-x）满足f(-

π

3

)=f(0)，当x∈[

π

4

，

11π

24

]时，则f（x）的值域为（　　）

• A、[1，2]
• B、[

  2

  ，

  3

  ]
• C、[

  3

  ，2]
• D、[

  2

  ，2]

Answer 1

分析：f（x）解析式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用诱导公式化简，整理后根据f（-

π

3

）=f（0），求出a的值，代入f（x）并利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出值域．

解答：解：f（x）=asinxcosx-cos²x+sin²x=

a

2

sin2x-cos2x，
∵f（-

π

3

）=f（0），即

a

2

sin（-

2π

3

）-cos（-

2π

3

）=-1，
即-

3 a

4

+

1

2

=-1，
解得：a=2

3

，
∴f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∵

π

4

≤x≤

11π

24

，
∴

π

3

≤2x-

π

6

≤

3π

4

，
∴

2

2

≤2sin（2x-

π

6

）≤1，
即

2

≤2sin（2x-

π

6

）≤2，
则f（x）的值域为[

2

，2]．
故选D

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．