Question

1．已知抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x²的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为l．
（1）求F的坐标；
（2）当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？

Answer 1

分析 （1）把抛物线方程整理成标准方程，进而可得焦点的坐标．
（2）设P（x₀，y₀）则y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，根据y′=$\frac{1}{2}$x，判断在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀，进而可得切线方程和焦点F到切线L的距离，最后判断当且仅当x₀=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）．

解答 解：（1）抛物线方程为x²=4y，故焦点F的坐标为（0，1）．
（2）设P（x₀，y₀）则y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，
对x²=4y进行求导得
y′=$\frac{1}{2}$x，
∴在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀
∴切线L的方程是：y-y₀=k（x-x₀），即$\frac{1}{2}$x₀x-y-$\frac{1}{4}$x₀²=0
∴焦点F到切线L的距离d=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}{\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}$≥1，
当且仅当x₀=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）
∴当P在（0，0）处时，焦点F到切线L的距离最小

点评 本题主要考查了抛物线的应用及抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．