Question

5．如图，是一块足球训练场地，其中球门AB宽7米，B点位置的门柱距离边线EF的长为21米，现在有一球员在该训练场地进行直线跑动中的射门训练．球员从离底线AF距离x（x≥10）米，离边线EF距离a（7≤a≤14）米的C处开始跑动，跑动线路为CD（CD∥EF），设射门角度∠ACB=θ．
（1）若a=14，
①当球员离底线的距离x=14时，求tanθ的值；
②问球员离底线的距离为多少时，射门角度θ最大？
（2）若tanθ=$\frac{1}{3}$，当a变化时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①利用差角的正切函数求出tanθ的值；
②利用函数的单调性，可得球员离底线的距离为多少时，射门角度θ最大；
（2）利用$tanθ=\frac{7x}{{{x^2}+（28-a）（21-a）}}=\frac{1}{3}$，则-x²+21x=a²-49a+28×21，因为7≤a≤14，所以98≤a²-49a+28×21≤294即可求x的取值范围．

解答 解：在△ACD中，设$∠ACD=α，tanα=\frac{AD}{CD}=\frac{AD}{x}$，
在△BCD中，设$∠BCD=β，tanβ=\frac{BD}{CD}=\frac{BD}{x}$，$tanθ=tan（α-β）=\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}=\frac{{\frac{AD}{x}-\frac{BD}{x}}}{{1+\frac{AD}{x}•\frac{BD}{x}}}=\frac{7x}{{{x^2}+AD•BD}}$…（3分）
（1）当a=14时，AD=14，BD=7，
①若x=14，则$tanθ=\frac{7×14}{{{{14}^2}+7×14}}=\frac{1}{3}$；                         …（6分）
②因为$f（x）=x+\frac{14•7}{x}$在x≥10时单调递增，
所以$tanθ=\frac{7x}{{{x^2}+14•7}}=\frac{7}{{x+\frac{14•7}{x}}}≤\frac{7}{{10+\frac{14•7}{10}}}=\frac{35}{99}$，
所以当x=10时射门角度θ最大；                              …（10分）
（2）AD=28-a，BD=21-a，
$tanθ=\frac{7x}{{{x^2}+（28-a）（21-a）}}=\frac{1}{3}$，则-x²+21x=a²-49a+28×21…（12分）
因为7≤a≤14，所以98≤a²-49a+28×21≤294，
则98≤-x²+21x≤294，即$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-21x+294≥0⇒x∈R\\{x^2}-21x+98≤0⇒7≤x≤14\end{array}\right.$，所以7≤x≤14
又x≥10，所以10≤x≤14
所以x的取值范围是[10，14]．                                   …（15分）
答（1）①当球员离底线的距离x=14时，tanθ的值为$\frac{1}{3}$；
②当球员离底线的距离为10时，射门角度θ最大；
（2）$tanθ=\frac{1}{3}$，则x的取值范围是[10，14]．                          …（16分）

点评 本题考查函数模型的确立，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．