Question

已知圆（x+4）²+y²=25的圆心为M₁，圆（x-4）²+y²=1的圆心为M₂，动圆与这两个圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）

．

Answer 1

分析：根据两圆外切的性质，动圆圆心到点M₁的距离与它到M₂的距离之差为4（常数），由此可得动圆圆心的轨迹是以M₁、M₂为左、右焦点，2a=4的双曲线右支，再结合双曲线的基本量及其关系，不难求出相应的轨迹方程．

解答：解：圆（x+4）²+y²=25的圆心为M₁（-4，0），半径为5；
而圆（x-4）²+y²=1的圆心为M₂（4，0），半径为1．
设动圆M与圆M₁和M₂都相外切，动圆半径为R，则
|MM₁|=R+5，|MM₂|=R+1，可得|MM₁|-|MM₂|=4，
∴点M在以M₁、M₂为左、右焦点，2a=4的双曲线右支上
a=2且c=4，可得b²=c²-a²=12
∴双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1，
因此，动圆圆心的轨迹方程为：

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）
故答案为：

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）

点评：本题给出动圆与两个定圆都相外切，求动圆圆心的轨迹方程，着重考查了两圆的位置关系和双曲线的定义与标准方程等知识，属于基础题．