Question

已知圆（x+4）²+y²=25的圆心为M₁，圆（x-4）²+y²=1的圆心为M₂，一动圆与这两个圆都外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若过点M₂的直线与（1）中所求轨迹有两个交点A、B，求|AM₁|•|BM₁|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两圆相外切，两圆心距离等于两圆半径的和，得到|PM₁|-|PM₂|=4；利用双曲线的定义及双曲线方程的形式，
求出动圆圆心P的轨迹方程．
（2）将直线方程与双曲线方程联立，通过根与系数的关系及判别式求出斜率k的范围；利用双曲线的定义将AM₁|•|BM₁|的取值范围表示成k的函数，求出函数的值域．

解答：解：（1）∵|PM₁|-5=|PM₂|-1，∴|PM₁|-|PM₂|=4
∴动圆圆心P的轨迹是以M₁、M₂为焦点的双曲线的右支．
c=4，a=2，b²=12，
故所求轨迹方程为

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）．
（2）当过M₂的直线倾斜角不等于

π

2

时，设其斜率为k，
直线方程为y=k（x-4）
与双曲线3x²-y²-12=0联立，消去y化简得（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＞0，x₂＞0
由

x1+x2= 8k2 k2-3 ＞0 x1x2= 16k2+12 k2-3 ＞0 △=64k4+16(3-k2)(4k2+3)＞0

解得k²＞3．
由双曲线左准线方程x=-1且e=2，有|AM₁|•|BM₁|=e|x₁+1|•e|x₂+1|=4[x₁x₂+（x₁+x₂）+1]
=4（

16k2+12

k2-3

+

8k2

k2-3

+1）=100+

336

k2-3

∵k²-3＞0，∴|AM₁|×|BM₁|＞100
又当直线倾斜角等于

π

2

时，A（4，y₁），B（4，y₂），|AM₁|=|BM₁|=e（4+1）=10
|AM₁|•|BM₁|=100故|AM₁|•|BM₁|≥100．

点评：本题考查求动点轨迹方程的方法：定义法．考查两圆相切的性质、双曲线的定义．
考查解决直线与圆锥曲线问题常用将方程联立，用根与系数的关系．