题目内容

【题目】在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点，分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.

【答案】(1) （2）当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.

【解析】试题分析：

（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.设椭圆的标准方程为，易知，结合椭圆过点，可得椭圆的标准方程为.

（2）由题意可知直线的斜率存在.设直线方程为，.联立直线方程与椭圆方程有.直线与椭圆交于不同的两点，则，，由弦长公式可得，而点到直线的距离，据此可得面积函数.换元令，，结合二次函数的性质可得当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.

试题解析：

（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.

设椭圆的标准方程为，焦距为，则，

∴，∴椭圆的标准方程为.

又∵椭圆过点，∴，解得.

∴椭圆的标准方程为.

（2）由于点在椭圆外，所以直线的斜率存在.

设直线的斜率为，则直线，设.

由消去得，.

由得，从而，

∴.

∵点到直线的距离，

∴的面积为.

令，则，

∴ ，

当即时，有最大值，，此时.

所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.

练习册系列答案
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点睛：本题主要考查圆关于直线的对称的圆的方程，属于基础题。解答本题的关键是求出圆心关于直线的对称点，两圆半径相同。

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【结束】
8

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32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42

84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04

32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45

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