题目内容

已知向量 $数学公式$ =（cos $数学公式$ x，sin $数学公式$ x）， $数学公式$ =（cosx，sinx）（0＜x＜π）．设函数f（x）= $数学公式$ • $数学公式$ ，且f（x）+f'（x）为偶函数．
（1）求x的值；
（2）求f（x）的单调增区间．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =cos $\text{[math]}$ xcos?+sin $\text{[math]}$ xsin?=cos（ $\text{[math]}$ x-?），
所以f（x）+f'（x）=cos（ $\text{[math]}$ x-?）- $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x-?）=2cos（ $\text{[math]}$ x-?+ $\text{[math]}$ ），
而f（x）+f'（x）为偶函数，则有-?+ $\text{[math]}$ =kπ，k∈Z，又0＜?＜π，则k=0，即?= $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）得f（x）=cos（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ），由2kπ-π≤ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ≤2kπ，
解得 $\text{[math]}$ （2kπ- $\text{[math]}$ ）≤x≤ $\text{[math]}$ （2kπ+ $\text{[math]}$ ），
即此函数的单调增区间为 $\text{[math]}$ （k∈Z）．
分析：（1）首先利用向量求得f（x），然后求出函数f（x）的导数，进而表示出f（x）+f'（x），再根据偶函数的定义求出结果；
（2）由（1）得出f（x）=cos（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ），再由余弦的单调性求出增区间即可．
点评：本题考查了三角函数的化简、余弦的单调性以及偶函数的定义，平时要牢记三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题．