Question

（本题满分15分）
已知点，是抛物线上相异两点，且满足．
（Ⅰ）若的中垂线经过点，求直线的方程；
（Ⅱ）若的中垂线交轴于点，求的面积的最大值及此时直线的方程．

Answer 1

（1）（2）

解析试题分析：方法一：
解：（I）当垂直于轴时，显然不符合题意，
所以可设直线的方程为，代入方程得：

∴                         ………………………………2分
得：              
∴直线的方程为                  
∵中点的横坐标为1，∴中点的坐标为    …………………………4分       
∴的中垂线方程为 
∵的中垂线经过点，故，得       ………………………6分
∴直线的方程为                       ………………………7分
（Ⅱ）由（I）可知的中垂线方程为，∴点的坐标为 …………8分
因为直线的方程为
∴到直线的距离      …………………10分
由得，

            …………………………12分
∴,  设,则，
，，由，得
即时
此时直线的方程为                         ……………15分
（本题若运用基本不等式解决，也同样给分）
法二：
（1）根据题意设的中点为，则      ………………2分
由、两点得中垂线的斜率为，              ………………4分
由，得                          ………………6分
∴直线的方程为                       ………………7分
（2）由（1）知直线