题目内容
（2011•广州模拟）各项均为正数的数列{an}，满足a1=1，
-
=2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n项和Sn．
| a | 2 n+1 |
| a | 2 n |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
| an2 |
| 2n |
分析：（1）由an+12-an2=2，可知数列{
}是首项为1，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项可求an2，结合已知进而可求an
（2）由（1）
=
，利用错位相减可求数列的和
| a | 2 n |
（2）由（1）
| an2 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n |
解答：解：（1）因为an+12-an2=2，
所以数列{
}是首项为1，公差为2的等差数列．…（2分）
所以
=1+(n-1)×2=2n-1．…（4分）
因为an＞0，所以an=
（n∈N*）．…（6分）
（2）由（1）知，an=
，所以
=
．…（7分）
所以Sn=
+
+
+…+
+
，①…（8分）
则
Sn=
+
+
+…+
+
，②…（9分）
①-②得，
Sn=
+
+
+
+…+
-
…（11分）
=
+2(
+
+
+…+
)-
=
+2×
-
…（12分）
=
-
．…（13分）
所以Sn=3-
．…（14分）
所以数列{
| a | 2 n |
所以
| a | 2 n |
因为an＞0，所以an=
| 2n-1 |
（2）由（1）知，an=
| 2n-1 |
| an2 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n |
所以Sn=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 5 |
| 23 |
| 2n-3 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 2n |
则
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| 5 |
| 24 |
| 2n-3 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
①-②得，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 2 |
| 23 |
| 2 |
| 24 |
| 2 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2 |
| ||||
1-
|
| 2n-1 |
| 2n+1 |
=
| 3 |
| 2 |
| 2n+3 |
| 2n+1 |
所以Sn=3-
| 2n+3 |
| 2n |
点评：本题主要考查等差数列通项公式的应用，错位相减求解数列的和是数列求和的重点和难点，要注意掌握
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