Question

（2011•广州模拟）已知函数f(x)=cos2x+

3

sinxcosx-

1

2

．
（Ⅰ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若f(

A

2

)=1，b=l，c=4，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得f（x）=sin(2x+

π

6

)，结合0≤x≤

π

2

，可求sin（2x+

π

6

）的范围，进而可求函数的最大值及取得最大值的x
（Ⅱ）由f(

A

2

)=sin(A+

π

6

)=1，及0＜A＜π，可求A，结合b=1，c=4，利用余弦定理可求a

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos2x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin(2x+

π

6

)．                          …（4分）
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，即-

1

2

≤f(x)≤1．
∴f（x）_max=1，此时2x+

π

6

=

π

2

，
∴x=

π

6

．        …（8分）
（Ⅱ）∵f(

A

2

)=sin(A+

π

6

)=1，
在△ABC中，∵0＜A＜π，

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴A+

π

6

=

π

2

，A=

π

3

．                       …（10分）
又b=1，c=4，
由余弦定理得a²=16+1-2×4×1×cos60°=13
故a=

13

．                …（12分）

点评：本题主要考查了三角函数中二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质的应用，及余弦定理解三角形的应用．