题目内容

（2010•江苏模拟）如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P最短，则AP+D1P的最小值为
2+
2
2+
2
．
分析：把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D1′，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1′并求出，就是最小值．
解答：解：如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D1′，
使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1′，
则AD1′=
1+1-2×1×1×cos135°
=
2+
2
为所求的最小值．
故答案为：
2+
2
．
点评：本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题．
练习册系列答案
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（2010•江苏模拟）某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：
①函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
②点(
π2
，0)是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；
④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．
其中正确的结论是
④
④
．
（2010•江苏模拟）将复数
1+2i
3+i3
表示为a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式为
1
10
+
7
10
i
1
10
+
7
10
i
．
（2010•江苏模拟）在标有数字1，2，3…，10，11，12的12张大小相同的卡片中，依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3的倍数的概率是
19
55
19
55
．
（2010•江苏模拟）已知直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x2+y2=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．
（2010•江苏模拟）设实数x，y满足
x-y-2≤0
x+2y-5≥0
y-2≤0
则u=
y2-x2
xy
的取值范围是
[-
8
3
，
3
2
]
[-
8
3
，
3
2
]
．

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