Question

【题目】定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列，对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．

（1）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；

（2）已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由题得，解不等式即得解；

（2）先求出，再证明.

（1）显然对任意正整数都成立，

即是三角形数列．

因为，显然有，

由得，

解得．因为，

所以当时，是数列的“保三角形函数”.

（2）由得，

两式相减得．

所以，因为

所以，所以数列是等比数列.

所以．

显然，

因为，

所以是“三角形”数列.