Question

【题目】已知,函数.

(Ⅰ)求在区间上的最小值;

(Ⅱ)设,当时, 恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：(Ⅰ) 利用得，判断函数的单调性，通过(i)当时；(ii)当时,(iii)当时，分别求解函数的最值；(Ⅱ) ，则，通过①当时，②当时，i当时，ii当时，利用函数的导数结合函数的单调性求解函数的最值，推出实数的取值范围.

试题解析：(Ⅰ) ,由,得,

当时, 为增函数;

当时, 为减函数.

(i)当时, 在区间上为减函数, ;

(ii)当时, 在区间上为增函数, ;

(iii)当时, ,

若时, ; 若时, .

综上,当时, ;当时, .

(Ⅱ) ,则.

①当时, 在上单调递增,则,

∵,∴存在,使得,于是在区间上单调递减,当时, 与恒成立相矛盾,不符合题意.

②当时, ),则,即在上单调递增,

∴,即,∴.

(i)当时, ,于是在上单调递增,

∴恒成立,符合题意.

(ii)当时, 在上单调递增,

则,即在上单调递增,所以,

∵,∴存在,使得,于是在区间上单调递减,

当时, 与恒成立相矛盾,不符合题意.

综上,实数的取值范围是.