题目内容

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．．
（I）由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=
1
2
，又0＜B＜π，
∴B=
π
3
．
（Ⅱ）由A+B+C=π及B=
π
3
，得C=
2
3
π-A．
又△ABC为锐角三角形，
∴
0＜A＜
π
2
0＜
2
3
π-A＜
π
2
.

∴
π
6
＜A＜
π
2
．
sinA+sinC=sinA+sin(
2
3
π-A)=
3
2
sinA+
3
2
cosA=
3
sin(A+
π
6
)．
又A+
π
6
∈(
π
3
，  
2
3
π)，
∴sin(A+
π
6
)∈(
3
2
，  1]．
∴sinA+sinC∈(
3
2
，  
3
]．
练习册系列答案
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设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若a=3
3
，c=5，求b．
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=
3
且
b
sinB
=2．
（1）求A的大小；
（2）求
a2+b2-c2
ab
+2cosB的取值范围．
设锐角三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+b2-c2=ab．
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（2008•湖北模拟）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
m
=(b，  2csinB)，  
n
=(cosB，sinC），且
m
∥
n
．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

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