Question

已知方程x²+y²-2（m-1）x-2（2m+3）y+5m²+10m+6=0
（1）此方程是否表示一个圆的方程？请说明理由；
（2）若此方程表示一个圆，当m变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由．

Answer 1

考点：二元二次方程表示圆的条件

专题：直线与圆

分析：（1）将方程化为标准方程的形式，要得到方程为圆，则方程的右边大于0，可得不等式，解之可得到m的范围．
（2）可设r²=-7m²+6m+1，在（1）求出的m的范围中，利用二次函数求最值的方法，可确定半径变化的规律．

解答： 解：（1）由方程+y²-2（m-1）x-2（2m+3）y+5m²+10m+6=0
变形得：[x-（m-1）]²+[y+（2m+3）]²=4，
∵4＞0，即方程表示圆；
该方程表示一个圆；
（2）圆的圆心坐标（m-1，2m+3），半径为2，设圆心（x，y），责x=m-1，y=2m+3，消去m可得，
圆的圆心在直线：2x-y+5=0上，半径不变．

点评：本题以二元二次方程为载体，考查方程表示圆的条件