Question

如图，焦点在x轴上的椭圆的离心率为

3

2

，上顶点A（0，1），下顶点为B，已知定直线l：y=2，若点P是椭圆上异于点A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点M，连接PB并延长交直线 l 于点M，
（1）求MN的最小值；
（2）证明以MN为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆离心率的意义和a、b、c的关系即可求出椭圆的方程；先设出点M、N的坐标，可写出直线MA、MB的方程，联立即可得出点P的坐标，再代入椭圆方程即可得出m、n的关系，进而求出|MN|最小值；
（2）先写出圆的方程，再利用（1）结论即可求出．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题意可得

c a = 3 2 b=1 a2=b2+c2

，解得

a=2 b=1 c= 3

，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
设点M（m，2），N（n，2）不妨设m＞0，n＜0．
则直线MA的方程为：y=

1

m

x+1；直线NB的方程为y=

3

n

x-1．
联立

y= 1 m x+1 y= 1 n x-1

解得

x= 2mn 3m-n y= 3m+n 3m-n

，即点P(

2mn

3m-n

，

3m+n

3m-n

)．
代入椭圆的方程得

m2n2

(3m-n)2

+

(3m+n)2

(3m-n)2

=1，化为mn=-12．
∴|MN|=m-n=m+

12

m

≥2

m× 12 m

=4

3

，当且仅当m=2

3

时取等号，即|MN|的最小值为4

3

．
（3）由（1）可知：设（M（m，2），N（n，2）），则mn=-12．
∴以MN为直径的圆的方程为(x-

m+n

2

)2+(y-2)2=(

m-n

2

)2．
令x=0，则方程化为（y-2）²=12，解得y=2±2

3

．
∴以MN为直径的圆恒过定点(0，2±2

3

)．

点评：熟练掌握椭圆的定义与性质、直线相交问题的解法、代点法、圆的方程及恒过定点问题的解法是解题的关键．