Question

设△ABC，P是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（ ）
A．∠ABC=90°
B．∠BAC=90°
C．AB=AC
D．AC=BC

Answer 1

【答案】分析：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由题意可写出，，，，然后由结合向量的数量积的 坐标表示可得关于x的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a，进而可判断
解答：解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）
则BP=1，A（-2，0），B（2，0），P（1，0）
∴=（1，0），=（2-x，0），=（a-x，b），=（a-1，b）
∵恒有
∴（2-x）（a-x）≥a-1恒成立
整理可得x²-（a+2）x+a+1≥0恒成立
∴△=（a+2）²-4（a+1）≤0
即△=a²≤0
∴a=0，即C在AB的垂直平分线上
∴AC=BC
故△ABC为等腰三角形
故选D
点评：本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力