Question

如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)证明： 因为平面，

所以.          ……………………2分

因为是正方形，

所以，

从而平面.     ……………………4分

(Ⅱ)解：因为两两垂直，

所以建立空间直角坐标系如图所示.

因为与平面所成角为，即，            ………………5分

所以.

由可知，.                           ………………6分

则，，，，，

所以，，                      ………………7分

设平面的法向量为，则，即，

令，则.                                  …………………8分

因为平面，所以为平面的法向量，，

所以.                  …………………9分

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.       ………………10分

(Ⅲ)解：点是线段上一个动点，设.

则，

因为平面，

所以，                                           …………………11分

即，解得.                               …………………12分

此时，点坐标为，，符合题意.           …………………13分

【解析】略