Question

已知关于x的不等式：

(a+1)x-3

x-1

＜1．
（1）当a=1时，解该不等式；
（2）当a＞0时，解该不等式．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入不等式，把右边的1移项到左边，通分后，根据两数相除，异号得负的取符号法则得到x-2与x-1异号，转化为两个不等式组，求出两不等式组解集的并集即可得到原不等式的解集；
（2）把原不等式的右边的1移项到左边，通分合并后，根据两数相除异号得负的取符号法则及a大于0，得到ax-2与x-1异号，先求出（ax-2）（x-1）=0的两个解分别为

2

a

和1，根据求出的两解相等，求出a的值，得到此时原不等式无解；根据

2

a

大于1，求出此时a的范围，根据不等式取解集的方法可得a的范围；同理

2

a

小于1时，求出相应的a的范围，综上，得到原不等式的解集．

解答：解：（1）把a=1代入原不等式得：

2x-3

x-1

＜1，即

x-2

x-1

＜0，
可化为：

x-2＞0 x-1＜0

或

x-2＜0 x-1＞0

，
解得：1＜x＜2，
则原不等式的解集为（1，2）；
（2）a＞0时，

(a+1)x-3

x-1

＜1?

ax-2

x-1

＜0?(ax-2)(x-1)＜0，
令方程（ax-2）（x-1）=0，解得：x1=

2

a

，x2=1，
综上：①当

2

a

=1，即a=2时，解集为∅；
②当

2

a

＞1即0＜a＜2时，解集为：{x|1＜x＜

2

a

}；
③当

2

a

＜1即a＞2时，解集为：{x|

2

a

＜x＜1}；

点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，是高考常考的题型．本题转化的理论依据为：两数相乘（除）：同号得正，异号得负的取符号法则．