Question

设数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=ca_n³+1-c，c∈N*，其中c为实数。
（1）证明：a_n∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜，证明：a_n≥1-（3c）^n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜，证明：，n∈N*。

Answer 1

解：（1）必要性：∵，
又∵，
∴，
即
充分性：设，对任意用数学归纳法证明
当时，
假设当时，，
则，
且，
由数学归纳法知，对任意成立。
（2）设，当时，，结论成立；
当时，∵，
∴
∵，由（1）知，
∴且，
∴，
∴。
（3）设，当时，，结论成立；
当时，由（2）知，
∴
∴
。