Question

已知函数，f′（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f'（a_n）+f′（n）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b₁=b，b_n+1=2f（b_n）（n∈N^*）．
（ⅰ）当时，数列{b_n}是否为等差数列？若是，请求出数列{b_n}的通项b_n；若不是，请说明理由；
（ⅱ）当时，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数．代入条件找到数列{a_n}的递推公式，再对递推公式利用构造法找到一个等比数列的通项，就可求出数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）（ⅰ）先求出数列{b_n}的递推公式，再把代入即可证明数列{b_n}是等差数列．
（ⅱ）先求出数列{b_n}的递推公式，转化为．再利用数学归纳法证得，即可证得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵，（1分）
∴，
即a_n+1+2（n+1）+1=2（a_n+2n+1）．（3分）
∵a₁=1，∴数列{a_n+2n+1}是首项为4，公比为2的等比数列．
∴a_n+2n+1=4•2^n-1，即a_n=2ⁿ⁺¹-2n-1．（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）∵b_n+1=2f（b_n）=，
∴．∴当时，．
假设，则b_k+1=b_k．
由数学归纳法，得出数列{b_n}为常数数列，是等差数列，其通项为．（8分）
（ⅱ）∵，∴．
∴当时，．
假设，则．
由数学归纳法，得出数列（n=1，2，3，）．（10分）
又∵，
∴，
即．（12分）
∴==．
∵，
∴．（14分）
点评：本题是对数列与函数的综合以及数学归纳法的综合考查．在数列与函数的综合题中，一般是利用函数的单调性来研究数列的单调性，或是利用函数的导函数来研究数列．