Question

（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（

1

2

，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为

5

4

．

Answer 1

分析：根据题意求得f（x）=

10x，(0≤x≤ 1 2 ) 10-10x，( 1 2 ≤x≤1)

，从而y=xf（x）=

10x2，(0≤x≤ 1 2 ) -10x2+10x，( 1 2 ≤x≤1)

，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．

解答：解：由题意可得，f（x）=

10x，(0≤x≤ 1 2 ) 10-10x，( 1 2 ≤x≤1)

，
∴y=xf（x）=

10x2，(0≤x≤ 1 2 ) -10x2+10x，( 1 2 ≤x≤1)

，
设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，
则S=

∫

1 2 0

10x²dx+

∫

1 1 2

（-10x²+10x）dx
=10×

x3

3

|

1 2 0

+（-10）×

x3

3

|

1 1 2

+10×

x2

2

|

1 1 2

=

5

12

-

35

12

+5-

5

4

=

15

12

=

5

4

．
故答案为：

5

4

．

点评：本题考查函数的图象，着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用，考查分析运算能力，属于难题．