Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5。过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M，
（1）求抛物线的方程；
（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系。

Answer 1

解：（1）抛物线y²=2px的准线为，
于是，
∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x；
（2）∵点A的坐标是（4，4），
由题意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），
∴，
∴，
则FA的方程为y=（x-1），MN的方程为，
解方程组，
∴；
（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2，
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离；
当m≠4时，直线AK的方程为，即为，
圆心M（0，2）到直线AK的距离，
令d＞2，解得m＞1；
∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当m＜1时，直线AK与圆M相交。