Question

矩形ABCD中，AD=2，AB≥AD，E为AD的中点，P是AB边上一动点．当∠DPE取得最大时，AP等于（　　）

• A．2
• B．

  3

• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：设AP=x，x＞0，设∠DPE=θ，则易知0°＜θ＜60°，在△DPE中利用余弦定理可表示出cosθ，然后转化为求函数sinθ的最大值问题即可解决．

解答：解：设AP=x，则x＞0，由题意知，DE=1，PE=

1+x2

，PD=

4+x2

，
可以看出三边中其中DE最短，所以其对应的∠DPE最小，设∠DPE=θ，则0°＜θ＜60°，
由余弦定理得：cosθ=

(1+x2)+(4+x2)-1

2 (1+x2)(4+x2)

=

x2+2

(1+x2)(4+x2)

，
sin²θ=1-cos²θ=1-

(x2+2)2

(1+x2)(4+x2)

=

x2

(1+x2)(4+x2)

，
因为sinθ在0°＜θ＜60°时为单调梯增函数，要使θ最大，即sinθ，最大就可，
sin²θ=

1

x2+ 4 x2 +5

，而x2+

4

x2

+5≥2

x2• 4 x2

+5=9，
当且仅当x2=

4

x2

即x=

2

时取等号．
则sin2θ≤

1

9

，所以sinθ≤

1

3

，当x=

2

时取等号，即θ取得最大值，
故选C．

点评：本题考查了余弦定理、函数最值的求解及函数思想，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力．