Question

如图所示，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′-EC-B是直二面角．
（1）证明：BE⊥C D′；
（2）求二面角D′-BC-E的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证BE⊥CD′，先证BE⊥面D′EC，欲证线面垂直先证线线垂直，根据线面垂直的判定定理可证得；
（2）先以EB，EC为x、y轴，过E垂直平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，设出平面D′BC的法向量，求出两平面的法向量的所成角的余弦值，再求出其正切值．

解答：解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，
易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC．
又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，
∴BE⊥面D′EC，又CD′?面D′EC，
∴BE⊥CD′．
（2）如图以EB，EC为x、y轴，过E垂直平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．
则B（

2

，0，0），C（0，

2

，0），D′（0，

2

2

，

2

2

），

BC

=(-

2

，

2

，0)，

D′C

=(0，

2

2

，-

2

2

)，
设平面BEC的法向量为

n1

=(0，0，1)，平面D′BC的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，由

n2 • BC =0 n2 • D′C =0

? 

- 2 x2+ 2 y2=0 2 2 y2- 2 2 z2=0

，
取x2=1，得

n2

=(1，1，1)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

3

．
tan＜

n1

，

n2

＞=

2

，
∴二面角D′-BC-E的正切值为

2

．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．