Question

P、Q是海上的两个灯塔，从海图上可测知，以PQ为弦，含圆周角为45°的弓形弧内是危险区，内有许多暗礁。一海轮开始时，见到两个灯塔都在它的北60°东。海轮向东行驶一段距离后，见灯塔P恰在它的正北方向，灯塔Q在它的北m°东()，问海轮继续向东航行是否有触礁的危险？

Answer 1

答案：
解析：

解］如下图所示，设⊙O是含弦PQ的圆，且ÐPOQ=2´45°=90°，开始时，船在A点，正东方向为AT，ÐPAT=90°-60°=30°，海轮向东行驶一段距离后到达B点，恰位于点P的正南方，有PB^AT，ÐPBQ=m°。 作OC^PQ于点C，反向延长OC交AT于点D，作OM^AT于点M。 令AP=2a，PQ=2b，则PB=a，PC=CQ=CO=b。 在DPQB中，由正弦定理得， 所以 又由余弦定理得BQ2=PQ2+PB2-2PQ×PB×cos120°，即 解之得：a=3b或a=-5b(舍去) 所以，a=3b，AC=AP+PC=2a+b=7b， 所以，，而，故OM>OP。 这说明⊙O与直线AT不相交，从而海轮不会有触礁的危险。